طريقة الفروق المحدودة والعناصر المحدودة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الناقصة

كثيراً من الظواهر الفيزيائية والهندسية الطبيعية لا تظهر إلا على شكل أنظمة رياضية وتحديداً تظهر كمعادلات تفاضلية جزئية تصف طبيعة هذه الظواهر. في هذه الرسالة, استخدمنا المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية الناقصة من الرتبة الثانية بحيث تم التركيز على معادلة بواسون ومعادلة لابلاس في البعد الثاني كنموذج لوصف تلك الظواهر. باستخدام طريقة الفروق المحدودة والعناصر المحدودة لتقريب حل تلك المعادلات يتم تحويل المعادلة الى شكل اخر بحيث يتم الحصول في النهاية على نظام خطي من المعادلات يمكن حله باستخدام طرق تكرارية مثل: Jacobi method, Gauss-Seidel method, Successive over Relaxation (SOR) method and Conjugate Gradient method. وجدنا من خلال هذا البحث أن طريقة الفروق المحدودة أفضل من طريقة العناصر المحدودة للحصول على حل مُقربْ للمعادلة وبأقل خطأ ممكن في حالة كون المجال (منطقة الحل) لمعادلة لابلاس أو لمعادلة بواسون ذات أشكال هندسية منتظمة (مثلث, مستطيل, ...). ولحل النظام الخطي الناتج من تجزئة معادلة لابلاس أو معادلة بواسون ، وجدنا أن طريقة SOR هي أفضل طريقة تكرارية من بين الطرق التكرارية الأخرى للحصول على حل مُقربْ للحل الدقيق والتي تعطي أقل خطأ ممكن.