طرق عددية لحل مسائل القطع الزائد

كثيراً من الظواهر الفيزيائية والطبيعية تظهر على شكل نماذج رياضية وتحديداً تظهر كمعادلات تفاضلية جزئية تصف طبيعة هذه الظواهر. في هذه الرسالة استخدمنا المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية الزائدة من الدرجة الثانية بحيث تم التركيز على معادلات الموجة كنموذج لوصف تلك الظواهر. في الواقع، فإن معظم هذه المسائل من الصعب جدا حلها بالطرق التحليلية. بدلا من ذلك، يمكن أن تحل عدديا باستخدام الأساليب الحسابية. في هذه الأطروحة، معادلات الموجة المتجانسة وغير المتجانسة مع أنواع مختلفة من الشروط الحدية تم حلها عدديا باستخدام طريقة الفروق المحدودة وطريقة العناصر المحدودة لتقريب حل المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدة . وبهذا يتم تحويل المعادلة الى شكل آخر للوصول بالنهاية الى نظام خطي من المعادلات يمكن حله باستخدام طرق تكرارية، مثل : Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, and Conjugate Gradient methods. وعمل مقارنة بسيطة بينهم. وجدنا في هذا البحث من خلال ما بينته النتائج العددية أن طريقة الفروق المحدودة هي أكثر كفاءة من طريقة العناصر المحدودة للحصول على حل تقريبي للمعادلة وبأقل خطأ ممكن في حال كون المجال ذو أشكال هندسية منتظمة، وأن طريقة العناصر المحدودة أكثر دقة للمجالات المعقدة وغير المنتظمة. أيضا، نلاحظ أن تقنية Conjugate Gradient تعطي النتائج الأكثر فعالية من بين الطرق التكرارية الأخرى.